אקסיומה
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
מקורה של המילה אקסיומה (גם: אכּסיוֹמה) הוא ביוונית העתיקה (αξιωμα), ופירושה "עיקרון מובן מאליו", שאינו מצריך הוכחה.
במתמטיקה ובלוגיקה, אקסיומה היא הנחה בסיסית (או "נקודת מוצא") במערכת לוגית מסוימת, אליה מתייחסים כנכונה. אקסיומות אינן מחייבות ניסוח אמת אינטואיטיבית ברורה מאליה, אלא רק סיפוק הנחת יסוד אשר עליה אין מנסים לערער (שכן מדובר בקביעה). השילוב בין מספר אקסיומות נקרא מערכת אקסיומטית. מערכת האקסיומות של תורה מתמטית מהווה בסיס להוכחה של המשפטים הנכללים בתורה זו.
כדי שמערכת אקסיומות תהווה בסיס נאות לפיתוחה של תורה מתמטית, עליה למלא שתי דרישות:
- עקביות (קונסיסטנטיות): לא קיימת סתירה בין האקסיומות. קיום סתירה בין אקסיומות מאפשר להוכיח דבר והיפוכו.
- מינימליות: במערכת האקסיומות אין אקסיומה מיותרת, כזו שאפשר להוכיח באמצעות האקסיומות האחרות.
דרישה סבירה נוספת היא דרישת השלמות, כלומר הדרישה שבאמצעות מערכת האקסיומות של תורה כלשהי ניתן יהיה להוכיח או להפריך כל טענה שניתן לנסח במסגרת תורה זו. משפט אי השלמות של גדל מוכיח שעבור מערכות מסוימות של אקסיומות לא ניתן לקיים דרישה זו מבלי לוותר על דרישת העקביות.
המפגש הראשון (ופעמים רבות גם האחרון) של התלמיד עם מערכת אקסיומטית נעשה במסגרת לימודי הגאומטריה. האקסיומה המפורסמת במסגרת זו היא אקסיומת המקבילים. הניסיונות להוכיח אקסיומה זו על ידי יתר האקסיומות של הגאומטריה הביאו ליצירתה של גאומטריה לא אוקלידית. פריצת דרך זו הראתה שהאקסיומות אינן בגדר טענות "מובנות מאליהן", אלא ניתן להחליף אקסיומה אחת באחרת, ובכל זאת לקבל מערכת אקסיומות עקבית.
אף שרעיון האקסיומה הוא מאבני היסוד של המתמטיקה, התפתחו ענפי מתמטיקה רבים ללא ביסוס אקסיומטי כלל, או עם בסיס אקסיומטי רופף. בשלהי המאה ה-19 ובתחילת המאה העשרים עסקו המתמטיקאים באינטנסיביות בביסוס אקסיומטי של המתמטיקה, ונבחנו היטב מערכות האקסיומות שבבסיס הגאומטריה (מערכת האקסיומות של הילברט), האריתמטיקה (האקסיומות של פאנו) ותורת הקבוצות (האקסיומות של צרמלו-פרנקל). רק בשנת 1933 ניתן בסיס אקסיומטי לתורת ההסתברות (האקסיומות של קולמוגורוב).