משוואות מקסוול

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

משוואות מקסוול הן מערכת של משוואות דיפרנציאליות חלקיות המתארות את התופעות החשמליות והמגנטיות, ובכלל זה את התופעות הקשורות לאור. המשוואות קרויות על שמו של הפיזיקאי ג'יימס קלרק מקסוול, שניסח אותן לראשונה בשנת 1864. מקסוול איחד את התיאור של התופעות החשמליות והתופעות המגנטיות וכן הצביע על האפשרות של קיום גלים אלקטרומגנטיים, והציע שהאור הוא גל אלקטרומגנטי כזה.

[עריכה] משוואות מקסוול

את משוואות מקסוול אפשר לכתוב בהרבה צורות. בכתיב וקטורי, במערכת יחידות SI בריק, הן נראות כך:

צורה דיפרנציאלית	צורה אינטגרלית
$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\epsilon_0}$	$\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac {q} {\epsilon_0}$
$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$	$\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 0$
$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$	$\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \frac {d \Phi_M} {dt}$
$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$	$\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 (I + \epsilon_0 \frac {d \Phi_E} {dt})$

$\ t$ הוא הזמן והאופרטור $\ \vec{\nabla}\equiv (\frac{\partial} {\partial x},\frac{\partial} {\partial y},\frac{\partial} {\partial z})$ הוא אופרטור נַ‏בּ‏לה.

$\ \vec{E}(\mathbf{r},t)$ הוא השדה החשמלי.

$\ \vec{B}(\mathbf{r},t)$ הוא שדה ההשראות המגנטית.

שניהם נקבעים על-פי קונפיגורציית המטענים והזרמים במרחב. אלו הם השדות הבסיסיים, כלומר שדות אלו מתארים את המצב האלקטרומגנטי.

$\ \rho(\vec{r},t)$ הוא שדה צפיפות המטען החשמלי

$\vec{J}(\vec{r},t)$ הצפיפות של הזרם החשמלי ליחידת שטח.

$\displaystyle\Phi_M$ הוא השטף המגנטי.

$\displaystyle\mu_0$ הוא פרמאביליות הריק.

$\displaystyle\epsilon_0$ הוא המקדם הדיאלקטרי של הריק.

לזה יש להוסיף את כוח לורנץ:

$\mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}),$

הוא הכח הפועל על כל חלקיק טעון במטען $\ q$ שנמצא בנקודה $\ \vec{r},t$ במרחב זמן בו קיימים שדה חשמלי ואו שדה מגנטי ונע במהירות $\ \vec v$ .

בעזרת משוואות מקסוול ניתן להסביר מגוון רב של תופעות טבע, בהן: התופעות החשמליות והמגנטיות שחלק מהן יפורטו בהמשך, אופטיקה גאומטרית (חוק סנל), התאבכות ועקיפה, תופעות הקשורות בקיטוב (משוואות פרנל, שבירה כפולה, פעילות אופטית ועוד). גם במכניקת הקוונטים עושים שימוש במשוואות מקסוול (בתיאור הסמי-קלאסי) כדי לחשב רוחב טבעי של קו ספקטרלי, למשל, ובאופן יותר כללי כדי לתאר את האינטראקציה בין אור וחומר.

קיימות תופעות אותן לא ניתן להסביר בתיאור הסמי-קלאסי, כמו למשל פליטה ספונטנית. לכן פותחה אלקטרודינמיקה קוונטית, הנותנת משמעות ברורה למושג פוטון. משוואות מקסוול מתקבלות כגבול של האלקטרודינמיקה הקוונטית עבור עצמת אור חזקה.

[עריכה] המשמעות הפיזיקלית של המשוואות

משוואות מקסוול מתארות חוקי טבע שהיו ידועים, לפחות בחלקם, לפני שמקסוול רשם את המשוואות. החוקים עליהם מקסוול ביסס את המשוואות הם:

חוק קולון - תיאור השדה החשמלי כתלות במטען היוצר אותו
חוק גאוס - צורה גלובלית יותר של חוק קולון, שמתארת את השדה החשמלי כתלות בהתפלגות המטענים במרחב
חוק אמפר - תיאור השדה המגנטי כתלות בזרמים היוצרים אותו
חוק ביו-סבר (Biot-Savart) - גרסה לוקלית של חוק אמפר
חוק פרדיי (Faraday) - מתאר את תופעת ההשראות האלקטרו-מגנטית
אין מטענים (מונופולים) מגנטיים

לאלו מקסוול הוסיף את משוואת הרציפות $\nabla\cdot\vec J(\vec r,t)=-\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}}$ , על פיה, שינויים במרחב בצפיפות הזרם יכולים לנבוע רק משינויים בזמן בצפיפות המטען.

[עריכה] משוואות מקסוול ביחידות cgs

ביחידות cgs היחידה הבסיסית שמוגדרת היא המטען החשמלי (esu), וניסוחו של חוק קולון יהיה

$\ F = \frac{Qq}{r^2}$

כלומר, המטען ביחידות ביחידות cgs מוגדר כך שקבוע קולון הוא 1. כתוצאה מהגדרה זו השדה החשמלי והשדה המגנטי נמדדים שניהם באותה יחידה: גאוס.

משוואות מקסוול ביחידות cgs נראות כך:

חוק קולון/חוק גאוס:

$\ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 4 \pi \rho$
חוק פאראדיי:

$\ \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{1}{c} \frac{ \partial \vec{B}}{\partial t}$
אי-קיומם של מונופלים מגנטים:

$\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$
חוק אמפר המתוקן:

$\ \vec{\nabla} \times \vec{B} = \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \frac{ 4 \pi}{c} \vec{j}$

שיטה זו מדגישה את הסימטריה במשוואות מקסוול, ולכן לרוב היא מועדפת כאשר עוסקים בפיתוחים תאורטיים. לעומת זה שיטת היחידות של SI מבוססת על היחידה הבסיסת של הזרם - אמפר, שלרוב הוא הגדול הנמדד באופן ישיר, ולכן השיטה מועדפת בעת עריכת ניסויים או תכנון מערכות מעשיות.

[עריכה] משוואות מקסוול בצורה יחסותית

בתורת היחסות מאחדים את השדה החשמלי והשדה המגנטי לישות טנזורית הנקראת טנזור השדה האלקטרומגנטי $\ F_{\mu \nu}$ המוגדר על ידי

$\ F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$

כאשר $A = (\phi / c , \vec{A} )$ הוא 4-וקטור הפוטנציאל האלקטרומגנטי.

בצורה זו ניתן לרשום את 4 משוואות מקסוול כ-2 משוואות יחסותיות קו-ואריאנטיות:

$\ \partial_\lambda F_{\mu \nu} + \partial_\mu F_{\nu \lambda} + \partial_\nu F_{\lambda \mu } = 0$ (זהות ביאנקי)
$\ \partial_\mu F^{ \mu \nu} = j^{\nu} / c$ (ביחידות גאוס) או $\ \partial_\mu F^{ \mu \nu} = 4 \pi j^{\nu}$

המשוואה העליונה שקולה ל-2 משוואות מקסוול ההומוגניות. המשוואה התחתונה שקולה ל-2 משוואות מקסוול הלא-הומגוניות (כלומר: עם מטענים וזרמים חשמליים).

מ-2 משוואות אלה נגזרות עוד 2 משוואות חשובות:

$\ \partial_\mu j^\mu = 0$ (משוואת רציפות של המטענים והזרמים החשמליים)
$\ \partial^2 A = \left( \frac{1}{c^2} \partial_t^2 - \nabla^2 \right ) A = 0$ (משוואת הגלים)

[עריכה] ראו גם

[עריכה] קישורים חיצוניים

אבני דרך, עשר התגליות הגדולות בפיזיקה ובאסטרונומיה, באתר ifeel

מקור: http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%90%D7%95%D7%AA_%D7%9E%D7%A7%D7%A1%D7%95%D7%95%D7%9C

קטגוריות: חוקי החשמל | משוואות דיפרנציאליות