פאי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

ערך זה עוסק בקבוע המתמטי פַּאי. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו פאי (פירושונים).

האות היוונית פי

במתמטיקה, $π$ (האות היוונית פִּי, או פַּאי לפי ההיגוי האנגלי) מייצגת את היחס הקבוע (בגאומטריה האוקלידית) בין היקף המעגל לקוטרו. $π$ הוא קבוע מתמטי שמופיע בנוסחאות רבות במתמטיקה ובפיזיקה. הערך מסומן כ-π משום שהוא משמש לחישוב היקף מעגל: האות π היא הראשונה במילה היוונית περιφερεια (פריפריה) שמשמעותה היקף. האות $π$ נקראת במקור "פִּי", אך עקב הקריאה שלה באנגלית, מקובל בעברית לקרוא לה "פאי".

חמישים הספרות הראשונות של $π$ הן: 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510.

תוכן עניינים

1 תכונות
2 חישוב π
- 2.1 במקורות היהדות
3 נוסחאות הקשורות ב-π
4 הפולקלור של π
- 4.1 ניסיונות לפישוט השימוש בפאי
5 ראו גם
6 לקריאה נוספת
7 קישורים חיצוניים
8 הערות שוליים

[עריכה] תכונות

$π$ הוא מספר אי רציונלי, כלומר אינו ניתן לכתיבה כיחס בין שני מספרים שלמים. תכונה זו הוכחה בשנת 1761 על ידי יוהן היינריך למברט. כבר הרמב"ם, בן המאה ה-12, הביע את דעתו, בפירושו למשנה (מסכת עירובין, א, ה), כי זהו מספר אי-רציונלי, אם כי ללא הוכחה.

המחשה של ערכו של פאי בקירוב

בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן ש- $π$ הוא מספר טרנסצנדנטי (לפרטים על ההוכחה, ראו - אי תלות אלגברית). מהוכחה זו נובע ש- $π$ אינו ניתן להצגה תוך שימוש במספר סופי של מספרים שלמים, שברים או שורשים שלהם. כתוצאה מהוכחה זו נובע שלא ניתן, באמצעות בנייה בסרגל ומחוגה לבנות ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון.

[עריכה] חישוב $π$

חישוב ערך מדויק יותר ויותר של $π$ היווה אתגר במשך מאות שנים.

פאי שווה להיקף מעגל שקוטרו 1

צורת השבר הפשוטה ביותר המקרבת את $π$ , היא $\ \frac{22}{7}$ או $\ 3\frac{1}{7}$ . קירוב מקובל של $π$ כמספר עשרוני הוא 3.14. קירובים אלה מתלכדים עם ערכו האמיתי של $π$ בדיוק של שתי ספרות בלבד מימין לנקודה.

קירובים לפאי היו ידועים עוד בבבל ובמצרים העתיקה, אך ארכימדס הציג לראשונה שיטה המאפשרת לחשב את $π$ בכל רמת דיוק שתידרש. שיטתו מתבססת על כך שהיקף המעגל קטן מהיקפו של מצולע החוסם את המעגל וגדול מהיקפו של מצולע החסום במעגל. באמצעות חישוב ההיקף של מצולע חוסם ומצולע חסום בעלי מספר הולך וגדל של צלעות נשיג דיוק גדל והולך של היקף המעגל, ובהתאם לכך דיוק גדל והולך של $π$ . ארכימדס הפעיל את שיטתו על משושה, ובהדרגה הכפיל את מספר הצלעות. מצולע בן 96 צלעות הביא את ארכימדס לתוצאה $\ 3 \frac{1}{7} > \pi > 3 \frac{10}{71}$ . תוכנה להמחשה מיידית של שיטתו של ארכימדס מופיעה באתר Archimedes and the Computation of Pi.

דיוק בן שש ספרות אחרי הנקודה הושג במאה ה-16 על-יד ההולנדי אדריאן אנטוניזון, שהציג את $π$ באמצעות השבר $\ \frac{355}{113}$ .

ההצגה של פאי כשבר משולב פותחת ב- $\ [3;7,15,1,293,...]$ . ההצגה מספקת סדרה של קירובים, שהראשון מביניהם הוא הערך השלם 3, ואחריו באים $\ \pi \sim \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \frac{104348}{33215}, \frac{1043835}{332263},...$ . כדרכם של שברים משולבים, אלו קירובים אופטימליים, במובן הבא: מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 7, הקרוב ביותר לפאי הוא $\ 22/7$ ; מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 106, הקרוב ביותר לפאי הוא $\ 333/106$ ; וכן הלאה.

בשנת 1596 השתמש ההולנדי לודולף ואן צאולן בשיטתו של ארכימדס, וחישב את $π$ בדיוק של 20 ספרות, וכעבור שנים אחדות הגיע לדיוק של 35 ספרות. הוא היה כל כך גאה בהישג זה, עד שציווה לכתוב ספרות אלה על מצבתו. גם הגרמנים התרשמו מאוד מהישג זה, וקראו ל- $π$ בשם מספר לודולף.

התפתחות החשבון האינפיניטסימלי במאה ה-17 הביאה שיטות חדשות לחישובו של $π$ , שיטות המתבססות על ייצוגו של $π$ כסכום של טור אינסופי.

בשנת 1789 חישב הסלובני יורי וגה את 140 הספרות הראשונות של $π$ (רק 137 מתוכן היו נכונות).

השתכללות המחשבים ומציאת אלגוריתמים יעילים יותר לחישובו של $π$ הביא לשיא הנוכחי (שנוצר בספטמבר 2002) - חישוב 1,241,100,000,000 ספרות, באמצעות מחשב-על מתוצרת היטאצ'י. מובן שלתוצאה זו אין כל ערך מעשי, מלבד הפגנת מהירותם של מחשבי-על ושל אלגוריתמים.

טכניקה לא שגרתית לחישובו של $π$ היא "שיטת מונטה-קרלו": על לוח עץ נצייר ריבוע שאורך צלעו שתי יחידות. נצייר מעגל חסום בריבוע זה (זהו מעגל שרדיוסו שווה ליחידה אחת), ונתחיל להטיל חיצים אל הריבוע (לא נכוון את החץ למרכז הריבוע, אלא אל הריבוע כולו, באופן אקראי). לאחר מספר רב של הטלות, היחס בין מספר הפעמים שהחצים פגעו בתוך המעגל, למספר הפעמים שבהם פגעו בתוך הריבוע שואף ליחס שבין שטחי שתי הצורות, שהוא $π / 4$ .

הדוגמה הראשונה לרעיון זה היא שיטת המחט של בופון: כאשר מטילים מחט על משטח שמצוירים עליו קווים ישרים מקבילים שהמרחק ביניהם שווה לאורך המחט, הסיכוי שהמחט תגע בקווים שווה ל- $\ 2/\pi$ . ב- 1777 ז'ורז' לואי לה קלרק, הרוזן בופון, ביצע את הניסוי כדי להעריך את ערכו של פאי. הניסוי עורר את עניינם של המתמטיקאים בני התקופה, והביא לדיון ער בהבנת מושג ההסתברות.

[עריכה] במקורות היהדות

בספר מלכים א' (ז, כג) יש רמז ל- $π$ :"ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו עד שפתו עגול סביב וחמש באמה קומתו וקוה (וקו) שלושים באמה יסוב אותו סביב". חישוב פשוט לפי פסוק זה נותן ל- $π$ את הערך 3, שהוא קירוב פשטני של $π$ . פרשנים ניסו להסביר תוצאה זו, למשל בהסבר שמדובר בקוטר חיצוני ובהיקף פנימי, בהסבר כי דרכו של המקרא היא לעגל מספרים, כך שאין ללמוד מכך על תפיסת הערך המדויק של $π$ בזמנם. יש הטוענים שרמז ליחס בין הקבוע פאי ובין המספר 3 המובא בפסוק - יחס השווה בקירוב למספר 1.0472, נרמז בקרי וכתיב של המילה וקוה שנכתבת וקוה ונקראת וקו, אם נבדוק את היחס בין הגימטריה של המילה קוה (111) למילה קו (106) נקבל שוב את המספר 1.0472 בקירוב, הדבר הנרמז כאן הוא שעל אף שלמעשה היה ראוי לכתוב את המספר המלא של הקבוע פאי, לצורך נוחות הקריאה נכתב רק העיגול של המספר. בנוסף, היו שניסו לתת פרשנויות מתוחכמות יותר ^[1], ויש השוללים פרשנויות אלה ^[2].

במסכת סוכה (דף ז') עוסקת הגמרא בממדיה של סוכה עגולה, ומביאה קירובים שונים להיקף המעגל ואורך האלכסון של ריבוע.

[עריכה] נוסחאות הקשורות ב- $π$

פאי מופיע בנוסחאות מתמטיות רבות. ניתן לצפות שיופיע בנוסחאות הקשורות לשטחי ונפחי צורות מעגליות, שכן הוא מוגדר באמצעות מעגל, אך לעתים הוא מתגלה גם בתחומים שלכאורה אין בינם ובין גאומטריה או מעגלים קשר ישיר.

[עריכה] גאומטריה


היקף מעגל	$C = 2 \pi r \,\!$
שטח עיגול	$A = \pi r^2 \,\!$
שטח של אליפסה	$A = \pi a b \,\!$
נפח של כדור	$V = \frac{4}{3} \pi r^3 \,\!$
שטח פנים של כדור	$A = 4 \pi r^2 \,\!$
נפח של גליל	$V = \pi r^2 h \,\!$
שטח פנים של גליל	$A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!$
נפח של חרוט	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!$
שטח פנים של חרוט	$A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!$

[עריכה] אנליזה מתמטית

נוסחה של פרנסואה ויאטה, 1593:

$\frac2\pi= \frac{\sqrt2}2 \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots$

נוסחת לייבניץ:

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$

כלומר:

$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \left (\frac{1}{2n-1}\right ) = \frac{\pi}{4}$

(זה למעשה הערך $\ x=1$ בפיתוח לטור טיילור של $\ \arctan(x)$ )

מכפלת ואליס:

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$

נוסחת האינטגרל של גאוסיאן (התפלגות נורמלית):

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$

בעיית בזל נפתרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר (ראו גם פונקציית זטא של רימן):

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

פונקציית גמא (המהווה הכללה של פונקציית העצרת) בנקודה 1/2:

$\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}$

נוסחת סטירלינג המשמשת לקירוב עצרת של מספרים גדולים:

$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$

(מוכיחים את הטענה על ידי פיתוח אסימפטוטי של פונקציית גמא)

זהות אוילר המתבססת על נוסחת אוילר (שנקראה על ידי ריצ'רד פיינמן "הזהות המופלאה ביותר במתמטיקה", ומקשרת בין חמשת הקבועים המתמטיים הבסיסיים):

$e^{\pi i} + 1 = 0\;$

שטחו של רבע מעיגול היחידה:

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx = {\pi \over 4}$

אינטגרל לא אמיתי נוסף:

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \pi$

[עריכה] אנליזה מרוכבת

יישום של משפט השאריות:

$\oint\frac{dz}{z}=2\pi i$

[עריכה] פיזיקה

זמן המחזור של מטוטלת מתמטית הוא $\mbox{Time} = 2 \pi \sqrt{\frac{\mbox{length}}{\mbox{gravity}} }$

[עריכה] שברים משולבים

אפשר להציג את פאי באמצעות שברים משולבים רבים, ביניהם^[^{דרוש מקור}^]:

$\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1^2}{3 + \frac{2^2}{5 + \frac{3^2}{7 + \frac{4^2}{9 + \frac{5^2}{11 + \frac{6^2}{13 + ...}}}}}}$

$\pi = 3 + \frac{1^2}{6 + \frac{3^2}{6 + \frac{5^2}{6 + \frac{7^2}{6 + \frac{9^2}{6 + \frac{11^2}{6 + ...}}}}}}$

$\frac{4}{\pi}=1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\frac{7^2}{2+\frac{9^2} {2+\frac{11^2}{2+\frac{13^2}{2+\frac{15^2}{2+\frac{17^2}{2+...}}}}}}}}}$

[עריכה] תורת המספרים

בתורת המספרים יש קשר בין פאי לבין מספר תוצאות:

ההסתברות ששני מספרים אקראיים יהיו זרים זה לזה היא $\ 6/\pi^2$ .
ההסתברות שמספר אקראי יהיה ללא אף מחלק ריבועי היא $\ 6/\pi^2$ .
מספר הדרכים הממוצע שבהן ניתן לכתוב מספר טבעי כסכום של שני מספרים ריבועיים הוא $\ \pi/4$ .

כאן אנו מניחים שההסתברות והממוצע נלקחים על קבוצת המספרים הטבעיים עד N, כאשר N שואף לאינסוף.

[עריכה] הפולקלור של $π$

קיימים משפטים שונים המשתמשים כעזרי זיכרון עבור ערכו של $π$ , בכך שמספר האותיות בכל מלה שלהם שווה לספרה המתאימה של $π$ . המפורסם שבהם הוא של אייזק אסימוב:

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!

(מילולית: כמה אני רוצה משקה, אלכוהולי, מן הסתם, אחרי הרצאה מתישה על מכניקת קוונטים).

יש החוגגים את ה־14 במרץ (שנרשם כ־3.14) כיום פאי, ואחרים המסתפקים ביום קירוב הפאי ב־22 ביולי (הוא 22/7). מהדרי ה"חג" חוגגים אותו בדרך כלל בשעה 1:59 אחר הצהריים (3.14159). ביום פאי של שנת 2004 קבע הגאון-האוטיסט דניאל טאמט שיא אירופי בדקלום המספר, כאשר דקלם אותו עד הספרה ה-22,514 שלו. השיא העולמי בדקלום פאי שייך ללו צ'או מסין שב-20 בנובמבר 2005 דקלם ללא שגיאה 67,890 ספרות.

חמשירים אחדים חוברו לכבודו של פאי, הנה אחד מהם:

'Tis a favorite project of mine
A new value of pi to assign.
I would fix it at 3;
For it's simpler, you see,
Than 3 point 1 4 1 5 9 !

ב־1998 הופק סרט בשם Pi.‏ [1]

דונלד קנות, מדען המחשב הנודע, ממספר את הגרסאות של תוכנת TeX כך שיילכו ויתקרבו ל־ $π$ : גרסה 3, גרסה 3.1, גרסה 3.14 וכו'. הגרסה הנוכחית היא 3.141592.

נקודת פיינמן הוא כינוי למקומות מספר 762 עד 767 בפיתוח העשרוני של פאי. כל המקומות האלו מכילים את הספרה 9. משערים שפאי הוא מספר נורמלי (דהיינו, הספרות בפיתוח העשרוני שלו מופיעות באופן אקראי כביכול), ואם כך אז הפיתוח העשרוני שלו כולל כל רצף ספרות סופי. עם זאת, מפתיע למצוא שש ספרות זהות רצופות בשלב כה מוקדם של הפיתוח. לשם השוואה, הרצף הדומה הבא, ששה מופעים רצופים של הספרה 8, מתחיל בספרה ה־222,299.

השם "נקודת פיינמן" ניתן בעקבות משאלה של הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן, לזכור על־פה את הפיתוח העשרוני של פאי עד לשלב שבו יוכל לומר "... תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, וכן הלאה".

הזמרת קייט בוש הוציאה שיר בשם $π$ בתקליט "אריאל". בשיר היא מונה את הספרות מהספרה הראשונה ועד הספרה ה-137. מסיבה לא ברורה היא מדלגת על הספרות במקומות 79-100.

בספר הבדיוני "מגע" שכתב קרל סייגן מוזכר שבבסיס 11, הספרות של פאי (החל ממקום מרוחק מאד) מתארות, כביכול, מעגל גדול; "עובדה" זו מוצגת שם כמסר מבורא העולם.

[עריכה] ניסיונות לפישוט השימוש בפאי

בשל המורכבות בהערכת גודלו המדויק של פאי, לאורך ההיסטוריה היו גם כאלו שניסו לפשט את השימוש בו. אדווין גודווין, רופא ממדינת אינדיאנה שבארצות הברית ומתמטיקאי חובב, פנה לאסיפה הכללית של המדינה בבקשה לאשר את השימוש בערך 3.2 עבור פאי בחוק למען ייטב לכולם. האסיפה הכללית העבירה את ההצעה לוועדת החינוך, שלא מצאה דופי בקביעת ערכו של פאי בחוק. כך הגיעה ההצעה הלאה אל הסנאט של אינדיאנה, ורק במקרה פרופסור קלארנס וואלדו שנזדמן להצבעה הביא את הסנאט לגנוז אותה.^[3]